向量范数是什么意思
向量范数是一个用于衡量向量大小的函数。它可以将向量映射到一个非负实数，表示向量的大小或长度。
常见的向量范数有以下几种：
1. L1范数：向量元素绝对值之和，即：$\|x\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|$。
2. L2范数：向量元素的平方和再开根号，即：$\|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$。
3. 无穷范数：向量元素绝对值的最大值，即：$\|x\|_\infty=\max_{1\leq i\leq n} |x_i|$。
向量范数满足一些基本性质，如非负性、同质性、三角不等式等。在机器学习和优化问题中，向量范数被广泛应用于模型正则化、损失函数定义、距离度量等方面。
向量范数
一般指范数。范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析
及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间
内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。
定义范数的矢量空间是赋范矢量空间；同样，定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。
注：在二维的欧氏几何空间 R中定义欧氏范数，在该矢量空间中，元素被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段，每一个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数。
矩阵的F-范数，的作用
作用：F范数是把一个矩阵中每个元素的平方求和后开根号。应用中常将有限维赋范向量空间之间的映射以矩阵的形式表现，这时映射空间上装备的范数也可以通过矩阵范数的形式表达。矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。所以矩阵范数通常也称为相容范数。 如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的实数k>0，使得k║·║是极小范数。扩展资料：如果不考虑相容性，那么矩阵范数和向量范数就没有区别，因为m*n矩阵全体和m*n维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征，这一点和算子范数的相容性一致，并且可以得到Mincowski定理以外的信息。如果范数║·║满足║A║=║UAV║对任何矩阵A以及酉矩阵U,V成立，那么这个范数称为酉不变范数。 容易验证，2-范数和F-范数是酉不变范数。因为酉变换不改变矩阵的奇异值，所以由奇异值得到的范数是酉不变的，比如2-范数是最大奇异值，F-范数是所有奇异值组成的向量的2-范数。 反过来可以证明，所有的酉不变范数都和奇异值有密切联系。
希尔伯特对紧算子理论的贡献
1.对弗雷德霍姆的积分方程理论进行了较为深入细致的研究,分析了弗雷德霍姆积分方程思想的来源,梳理了无穷维线性方程组的历史发展,考察了弗雷德霍姆建立其积分方程理论的视角和过程。
2.详细研究了希尔伯特建立对称核积分方程的特征值理论的工作,梳理出了他建立该理论的思路,指出了他的理论所关注的问题,分析了他成功建立其理论的关键是广义主轴定理,考察了他建立这个定理的思路和过程,论述了这个定理在证明存在性问题和建立函数的展开定理方面的重要作用,并阐述他的工作中萌芽的希尔伯特空间的思想。
3.深入细致地探讨了希尔伯特用无穷二次型语言建立的谱理论,也对谱理论在积分方程上的应用进行了详细的考察。分析了希尔伯特建立谱理论的思路和目的,指出了他如何对无穷二次型定义点谱和连续谱,又如何对有界无穷二次型建立谱分解,也指出了他引入的全连续概念的重要性。通过对谱理论在积分方程上的应用的研究分析,阐述了希尔伯特工作中蕴含的空间思想和算子理论的思想。
4.详细考察了希尔伯特的追随者们在具体希尔伯特空间方面所做的贡献。对施密特早期简化希尔伯特建立其特征值理论的工作进行了详细的考察和分析,指出他的工作向希尔伯特空间迈近了一步。也对他建立希尔伯特序列空间并对该空间引入几何语言的工作进行了详细考察。对里斯运用勒贝格积分推广希尔伯特的工作时建立的里斯——费舍尔定理的相关工作进行了分析研究,有助于更好地理解其后来的工作。
5.考察了希尔伯特的工作在抽象空间理论建立过程中产生的重大影响。里斯仿照勒贝格平方可积函数空间发现了具体的巴拿赫空间,随后他又引入范数代替内积来研究函数空间,给出了范数所要满足的三条公理,并且以希尔伯特的全连续概念为基础在具体空间上建立了紧算子理论。巴拿赫为了将积分方程理论一般化在完全抽象的环境中来建立了巴拿赫空间理论。应量子力学发展的需要和数学向着抽象性发展的趋势,冯.诺依曼用抽象语言重新表述和发展希尔伯特的理论的过程中建立了抽象希尔伯特空间理论。
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